Invariants, local stabilities and unobstructedness in deformation theory

Le but de cette thèse est d'étudier certains invariants, la stabilité locale des structures géométriques, ainsi que les phénomènes d'absence d'obstructions en théorie des déformations. Nous commençons par établir plusieurs nouveaux théorèmes sur l'invariance par déformation des nombres de Hodge et par redémontrer la stabilité locale des structures (p)-kähleriennes sous l'hypothèse du lemme (partial bar{partial}). Cette démarche est motivée par un travail récent de D. Wei et S. Zhu concernant l'extension des formes différentielles complexes fermées, ainsi que par l'utilisation du lemme (partial bar{partial}) par C. Voisin. En revanche, notre méthode se concentre sur les extensions fermées pour la différentielle extérieure (d) via l'opérateur exponentiel (e^{iota_varphi}).Deuxièmement, nous adaptons la méthode des séries entières au cadre feuilleté afin de démontrer la stabilité locale des structures (p)-kähleriennes transverse avec un lemme (partial bar{partial}) faible, renforçant ainsi les résultats antérieurs d'A. El Kacimi Alaoui-B. Gmira et de P. Raźny concernant les feuilletages transverse kähleriens avec orientabilité homologique. Nous remarquons qu'un feuilletage transverse kählerien satisfait le lemme (partial bar{partial}) même sans l'hypothèse d'orientabilité homologique. Ainsi, même dans le cas (p=1) (transversement kählerien), notre résultat est nouveau et optimal, car nous pouvons supprimer cette hypothèse sur le feuilletage initial. Nous établissons également plusieurs théorèmes sur l'invariance par déformation des nombres de Hodge et de Bott-Chern basiques sous des hypothèses faibles de lemme (partial bar{partial}). Troisièmement, nous généralisons le travail de L. Katzarkov, M. Kontsevich et T. Pantev sur l'absence d'obstruction des déformations localement triviales des paires projectives généralisées log Calabi-Yau avec poids au contexte plus large des variétés kähleriennes compactes. Pour ce faire, nous démontrons un lemme (partial bar{partial}) pour les formes différentielles logarithmiques à valeurs dans le dual d'un certain fibré en droites pseudo-effectif sur des variétés kähleriennes compactes, confirmant ainsi une conjecture proposée par X. Wan. Enfin, comme produit dérivé de ce lemme logarithmique (partial bar{partial}), nous obtenons plusieurs applications, notamment une démonstration rapide d'un cas particulier du travail de J. Cao et A. Höring sur la fermeture des formes logarithmiques tordues, ainsi qu'un renforcement du résultat de H. Esnault et E. Viehweg sur la dégénérescence au terme (E_1) de la suite spectrale de Hodge vers de Rham pour les variétés projectives, étendu désormais au cadre kählerien. Nous établissons aussi une version kählerienne du théorème d'injectivité de F. Ambro, initialement formulé en catégorie algébrique. Notons que, bien qu'O. Fujino ait précédemment traité le cas kählerien, notre approche se distingue par le fait qu'elle évite l'usage des structures de Hodge mixtes pour la cohomologie à support compact.