Hypocoercivity and geometric confinement

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs équations cinétiques posées dans des domaines bornés et munies de conditions aux bords de type Maxwell. Nous nous intéressons en particulier aux problèmes où la frontière est non isotherme, c'est-à-dire qu'il existe une fonction dépendante de la variable spatiale représentant une température de paroi prescrite, constante dans le temps mais pouvant varier selon la position.Cette étude est motivée par le problème physiquement pertinent de la description de l'évolution de particules à l'intérieur d'un domaine cylindrique, dont chacune des bases est munie de réservoirs de chaleur maintenus à des températuresdifférentes.Nous considérons deux cadres différents : Premièrement, nous étudions des équations cinétiques de type Fokker-Planck pour lesquelles la température au bordpeut varier de manière arbitraire, à condition qu'elle soit bornée et strictement positive. Dans ce cadre, nous utilisons des théorèmes de type Krein-Rutmann et Doblin-Harris, pour construire une solution stationnaire à ce problème et nous en décrivons sa stabilité.Deuxièmement, nous étudions une équation de Boltzmann dans le régime de la limite hydrodynamique, dans desdomaines régulières ou cylindriques, mais nous ne considérons que le problème isotherme. Dans ce cadre, nousmontrons l'existence de solutions perturbatrices près de l' équilibre et la stabilité asymptotique de la Maxwellienne. Cetteétude est un premier pas vers l'étude de ce problème dans des conditions de Maxwell non isothermes.