A note on vertex Turán problems in the Kneser cube

Abstract The Kneser cube $$Kn_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> has vertex set $$2^{[n]}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> and two vertices $$F,F'$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> are joined by an edge if and only if $$F\cap F'=\emptyset $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∅</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . For a fixed graph G , we are interested in the most number $$\textrm{vex}(n,G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>vex</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of vertices of $$Kn_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> that span a G -free subgraph in $$Kn_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . We show that the asymptotics of $$\textrm{vex}(n,G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>vex</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is $$(1+o(1))2^{n-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for bipartite G and $$(1-o(1))2^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for graphs with chromatic number at least 3. We also obtain results on the order of magnitude of $$2^{n-1}-\!\textrm{vex}(n,G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mtext>vex</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mm