A Diestel-Faires type result for multimeasures

Abstract Let X be a real Banach space and let $$Y \subseteq X^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> be a linear subspace having the Orlicz-Thomas property, that is, for each $$\sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:math> -algebra $$\Sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> and for each map $$\nu :\Sigma \rightarrow X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the countable additivity of the composition $$x^*\circ \nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for all $$x^*\in Y$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> implies the countable additivity of $$\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:math> . We show that the Orlicz-Thomas property allows to test countable additivity of set-valued maps. Namely, if M is a map defined on a $$\sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:math> -algebra $$\Sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> whose values are convex, $$\sigma (X,Y)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -compact, bounded non-empty subsets of X , then the following statements are equivalent: (i) M is a strong multimeasure, that is, for every disjoint sequence $$(A_n)_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> in $$\Sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> the series of sets $$\sum _n M(A_n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is unconditionally convergent and the equality $$M(\bigcup _n A_n)=\sum _n M(A_n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>⋃</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub>