Matrices aléatoires et gestion de risque de portefeuilles financiers de grande taille

L'estimation des matrices de variance-covariance de grande taille est une question importante dans de nombreux domaines tels que la finance ou l'économie. Dans le cas où la taille de la matrice à estimer n'est pas négligeable par rapport au nombre d'observations dont on dispose, l'estimateur empirique est peu efficace. Ce cas de figure est fréquent en pratique car on dispose rarement de très grands jeux de données et parce qu'il n'est parfois pas pertinent de considérer des données trop anciennes (séries temporelles non-stationnaires). La théorie des matrices aléatoires s'intéresse au comportement des valeurs propres et vecteurs propres des matrices dont la taille tend vers l'infini et a permis l'émergence de plusieurs techniques d'estimation. Cette thèse a pour objectif d'utiliser la théorie des matrices aléatoires afin d'analyser mathématiquement et numériquement ces modèles et de les développer. Nous étudions l'entropie de Kullback-Leibler du shrinkage non linéaire dans un cas particulier afin de pouvoir l'interpréter dans le sens de la perte d'information. Nous étudions également la méthode holdout, une méthode d'apprentissage statistique qui implique de découper son jeu de données en un ensemble d'entraînement et un ensemble de test et qui peut être utilisée pour l'estimation des matrices de variance-covariance. Nous considérons d'abord des bruits gaussiens, et puis un deuxième temps, des bruits invariants par rotation en faisant appel au calcul de Weingarten ; ces études permettent de mieux comprendre le comportement de l'erreur de la méthode holdout et fournissent des informations sur la meilleure manière d'effectuer le découpage.