Quasilinear problems with critical Sobolev exponent for the Grushin p-Laplace operator

Abstract We study the following class of quasilinear degenerate elliptic equations with critical nonlinearity $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll}-\Delta _{\gamma ,p} u= \lambda |u|^{q-2}u+\left| u\right| ^{p_{\gamma }^{*}-2}u &amp; \text { in } \Omega \subset \mathbb {R}^N,\\ u=0 &amp; \text { on } \partial \Omega , \end{array}\right. } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\Delta _{\gamma , p}u:=\sum _{i=1}^N X_i(|\nabla _\gamma u|^{p-2}X_i u)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the Grushin p -Laplace operator, $$z:=(x, y) \in \mathbb {R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow>