Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals II. Almost all intervals

Abstract We study higher uniformity properties of the von Mangoldt function $\Lambda $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:math> , the Möbius function $\mu $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> , and the divisor functions $d_{k}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> on short intervals $(x,x+H]$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:math> for almost all $x \in [X, 2X]$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:math> . Let $\Lambda ^{\sharp }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>♯</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and $d_{k}^{\sharp }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>♯</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> be suitable approximants of $\Lambda $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:math> and $d_{k}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , $G/\Gamma $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> </mml:math> a filtered nilmanifold, and $F \colon G/\Gamma \to \mathbb{C}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> a Lipschitz function. Then our results imply for instance that when $X^{1/3+\varepsilon } \leq H \leq X$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> we have, for almost all $x \in [X, 2X]$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:math> , $$ \sup _{g \in {\operatorname{Poly}}(\mathbb{Z}\to G)} \left | \sum _{x &lt; n \leq x+H} (\Lambda (n)-\Lambda ^{\sharp }(n)) \overline{F}(g(n) \Gamma ) \right | \ll H\log ^{-A} X $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:munder> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>Poly</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo