Entropic regularization in optimal transport and beyond

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularisation entropique et de ses propriétés dans différents contextes. Nous nous intéressons à son champ d'application, son comportement dans le régime de régularisation faible et aux conséquences de son caractère sousmodulaire. Nous montrons que la régularisation entropique est adaptée à des problèmes proches du transport optimal: la classification adversariale et le transport faible. Dans ces deux cas elle fournit des méthodes de résolutions numériques et des garanties qualitatives de convergence. À noter que dans le cadre du transport faible, nous présentons une nouvelle condition de qualification des contraintes de moments qui assure l'existence de solutions duales, notamment dans le cadre du transport martingale optimal. Nous étudions ensuite le régime de régularisation faible dans le cadre du transport optimal classique. Nous dérivons des taux quantitatifs de convergence pour des quantités d'intérêt telles que le coût, l'entropie et la distance entre les plans optimaux régularisés et non régularisés. Nous montrons aussi de multiples extensions du résultat de contraction de Caffarelli grâce à la régularisation entropique. Ces résultats reposent partiellement sur une version quantitative de l'inégalité de Prékopa-Leinder. Enfin, nous démontrons comment la propriété de sousmodularité permet d'obtenir des principes de comparaison. Nous en déduisons des applications économiques aux marchés divisibles. Et nous présentons une méthode s'appliquant aux problèmes variationnels dans lesquels la fonction objectif est sousmodulaire ou échangeable permettant d'obtenir des principes de comparaison en l'absence d'unicité. Ces résultats sont appliqués aux problèmes duaux de transport optimal et transport entropique et aux schémas JKO et JKO régularisés entropiquement.