Isometric and conformal embeddings of surfaces in Lorentzian manifolds

Cette thèse aborde des questions de flexibilité et de rigidité des plongements conformes et isométriques de surfaces dans des variétés semi-riemanniennes. La première partie concerne les plongements conformes de surfaces de Riemann fermées dans des variétés pseudo-riemanniennes de dimension trois ou plus. Les résultats classiques, à commencer par ceux de Garsia, ont établi que toute surface de Riemann admet un plongement lisse et conforme dans l'espace euclidien de dimension 3. Dans ce travail, on étend ces résultats au cadre pseudo-riemannien, montrant que la seule restriction est l'existence d'un plongement de type espace. Cependant, cette flexibilité disparaît lorsqu'on impose des contraintes de courbure : dans le cas de quotients du cône de temps de dimension 2+1 par un groupe fuchsien cocompact, on montre que les structures conformes qui peuvent être réalisées par des métriques à courbure négative forment un ensemble relativement compact dans l'espace de Teichmüller. La seconde partie porte sur les plongements isométriques C^1 dans des espaces lorentziens. En généralisant le théorème de Nash-Kuiper, on montre que toute variété riemannienne compacte admettant un plongement de type espace long dans une variété pseudo-riemannienne peut être C^0-approchée par un plongement isométrique C^1. Dans les deux parties, on utilise des méthodes d'intégration convexe pour construire les plongements.