Modélisation, analyse et simulation de l'interaction fluide-stucture en cas de contact

La présente thèse est consacrée à la modélisation, l'analyse et la simulation des problèmes d'interaction fluide-structure (IFS) avec contact. La modélisation du contact est d'une importance fondamentale pour la simulation des dynamiques de valves cardiaques, qu'elles soient natives ou artificielles. Si l'interaction fluide-structure constitue déjà un problème complexe en soi, l'ajout du contact entre solides introduit des difficultés supplémentaires spécifiques. En particulier, la prise en compte du contact dans les modèles IFS accroît considérablement la complexité de l'approximation numérique, qui doit entre autre gérer les transitions entre interfaces fluides-structures et interfaces de contact, ainsi que les possibles changements topologiques du domaine fluide. De plus, la simulation complète de modèles IFS avec contact requiert l'utilisation de techniques de maillage avancées. Au-delà des difficultés numériques, les modèles IFS-contact dits « naïfs » présentent parfois des comportements non physiques, notamment avec un fluide visqueux incompressible. Dans certaines configurations, notamment en présence de conditions aux limites de type non-glissement, les modèles IFS peuvent ne pas prédire le contact — un phénomène connu sous le nom de paradoxe de non-collision. Même lorsque le contact est atteint, les contraintes de contact peuvent induire des effets non physiques, tels que la création de vide lors de la séparation ou des forces déséquilibrées au moment du contact. Une approche pour remédier à ces comportements paradoxaux consiste à introduire une modélisation de la rugosité liée aux aspérités de la surface solides dans les zones de contact. Ce travail de thèse aborde précisément la problématique de la modélisation du contact dans les problèmes d'interaction fluide-structure. La première partie est consacrée à l'analyse mathématique d'un modèle fluide-structure-contact qui modélise les fuites sur une paroi fixe via un modèle poreux réduit. Nous montrons que ce modèle autorise le contact et lève ainsi le paradoxe de non-collision propre aux modèles IFS classiques fondés sur des conditions aux limites de type Dirichlet ou Dirichlet/Navier. La seconde partie de la thèse s'attache à étendre ce modèle de rugosité à un solide immergé en mouvement. Nous obtenons formellement de nouvelles conditions de transmission fluide-poreux-structure, permettant la fuite du fluide dans les aspérités de la surface du solide, tout en garantissant la conservation de la masse et le bilan énergétique à l'interface. Nous proposons une approximation numérique stable du modèle et en validons le comportement sur un cas test simplifié d'ouverture et de fermeture de valve cardiaque. Nous proposons également un schéma décalé en temps dont nous montrons la stabilité.