Connected sum of manifolds with spectral Ricci lower bounds

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n &gt; 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma greater-than StartFraction n minus 1 Over n minus 2 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma &gt; \frac {n-1}{n-2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \in \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are two smooth <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -manifolds that admit a complete Riemannian metric satisfying <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus gamma normal upper Delta plus normal upper R normal i normal c greater-than lamda comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">R</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">-\gamma \Delta + \mathrm {Ric} &gt; \lambda ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> then the connected sum <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M number-sign upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> # </mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M \# N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> also admits such a metric. The construction geometrically resembles a Gromov-Lawson tunnel; the range <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma greater-than StartFraction n minus 1 Over n minus 2 EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma &gt; \frac {n-1}{n-2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is sharp for this to hold.