On factoriality results for von Neumann algebras associated with locally compact groups

Dans cette thèse, je m'intéresse aux algèbres de von Neumann de groupes localement compacts ainsi qu'aux produits croisés obtenus lorsqu'un groupe localement compact agit continûment sur une algèbre de von Neumann. J'étudie en particulier à la question suivante : quand est-ce que ces algèbres de von Neumann ont-elles un centre trivial ? Le cas des groupes discrets étant déjà largement compris, je me concentre sur les groupes et actions de groupes non-discrets. Dans un premier chapitre, j'établis un nouveau critère quantitatif de factorialité pour les groupes totalement discontinus, qui généralise le critère "icc" des groupes discrets. J'en déduis que l'algèbre de von Neumann d'un groupe de Neretin est un facteur de type II, ce qui fournit une nouvelle démonstration du fait que les groupes de Neretin ne sont pas de type I. Je montre aussi comment les méthodes employées permettent d'obtenir la factorialité de certaines algèbres de groupes agissant sur des arbres, ou de coins de ces dernières. Dans un deuxième temps, je démontre la factorialité de certains produits croisés par des groupes satisfaisant le critère de factorialité précédent. Cela s'applique par exemple au produit croisé obtenu via l'action d'un groupe de Neretin sur le bord de son arbre : le facteur obtenu est un facteur de type III. Dans un second chapitre, je considère le produit croisé provenant d'une action d'un groupe localement compact G sur un facteur M. Une telle action est dite strictement extérieure si l'inclusion de M dans le produit croisé est irréductible, ce qui est une forme forte de factorialité. Lorsque le groupe G est discret, cette propriété est équivalente à l'extériorité de l'action de G, et Marrakchi et Vaes ont montré que cette équivalence persistait pour des actions de groupes localement compacts sur des facteurs pleins. On sait que cette équivalence n'est pas valable pour des facteurs génériques. Dans ce chapitre, je considère des renforcements naturels de la notion d'extériorité : je montre que toute action " spectralement" extérieure sur un facteur quelconque est strictement extérieure. Lorsque le facteur M est semi-fini, cela implique que toute action "topologiquement" extérieure est strictement extérieure, ce qui répond à une question posée par Marrakchi et Vaes.