Análise de sistemas afins por partes com uma representação implícita baseada em rampas

Les systèmes Affines par Morceaux (PWA, de l'anglais Piecewise Affine) constituent une classe de systèmes dynamiques non linéaires caractérisés par des dynamiques affines définies sur une partition de l'espace d'états. Leur importance découle de la capacité à modéliser une large gamme de comportements non linéaires. Cependant, l'analyse de la stabilité de tels systèmes est difficile en raison de la complexité combinatoire associée au nombre de partitions et aux transitions possibles entre ensembles le long des trajectoires. En conséquence, les techniques existantes d'analyse de stabilité sont généralement limitées à des systèmes de dimension réduite et comportant un nombre restreint d'ensembles dans la partition. Cette thèse traite de l'analyse de la stabilité de l'origine des systèmes PWA au moyen d'une représentation implicite basée sur des fonctions rampe. Premièrement, nous développons des conditions fondées sur des inégalités matricielles linéaires et des matrices copositives pour vérifier la non-négativité de fonctions quadratiques par morceaux, aussi bien globalement que localement, en utilisant des outils d'optimisation convexe. Ces conditions permettent de résoudre des inégalités de Lyapunov qui fournissent des certificats de stabilité exponentielle de l'origine. De plus, dans le cadre de la stabilité locale, les ensembles de niveau des fonctions de Lyapunov quadratiques par morceaux peuvent être utilisés pour estimer la région d'attraction de l'origine. L'approche proposée réduit non seulement le conservatisme inhérent aux techniques existantes, mais offre également une meilleure scalabilité computationnelle, permettant l'analyse de systèmes de plus grande dimension ou comportant davantage d'ensembles dans la partition. Les avantages de la méthode sont illustrés par des exemples numériques en temps continu et en temps discret.