The $$C_2$$-equivariant K(1)-local sphere

Abstract We compute the $$RO(C_2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -graded Green functor $$\underline{\pi }_\star L_{KU_{C_2}/(2)}S_{C_2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:munder> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>̲</mml:mo> </mml:munder> <mml:mo>⋆</mml:mo> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> .