On Banach subalgebras of the Dirichlet Hardy algebra $$\mathscr {H}^\infty $$ consisting of lacunary Dirichlet series

Abstract Let $$\mathscr {H}^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> be the set of all Dirichlet series $$\textstyle f\!=\!{{\sum \limits _{n=1}^\infty }} a_nn^{-s}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> (where $$a_n\!\in \mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for all $$n\!\in \! \mathbb {N}\!=\!\{1,2,3,\cdots \}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ) that converge at each s in the half-plane $$\mathbb {C}_0\!:=\!\{s\!\in \! \mathbb {C}\!:\! \text {Re}(s)\!&gt;\!0\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mtext>Re</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , such that $$\Vert f\Vert _{\infty }\!=\!\sup _{s\in \mathbb {C}_0}\!|f(s)|\!&lt;\!\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Then $$\mathscr {H}^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> is a Banach algebra with pointwise operations and the supremum norm $$\Vert \cdot \Vert _\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi>