Méthode volumes-finis basée sur des techniques d’apprentissage automatique pour la dynamique des fluides

Les équations aux dérivées partielles (EDPs) hyperboliques non linéaires jouent un rôle prépondérant en physique pour modéliser différents phénomènes complexes, tels que les fluides ou encore l'électromagnétisme. Dans le cadre de l'étude de systémes hyperboliques, il est important de noter que, quelle que soit la régularité des conditons initiales ou aux limites utilisées, des discontinuités peuvent apparaître après un temps fini. Par conséquent, il est essentiel d'étudier ces EDPs au sens des distributions, où l'on recherche des solutions faibles. Les solutions dites faibles ne sont pas uniques. Il est alors nécessaire de compléter ces équations par des conditions d'admissibilité supplémentaires afin de sélectionner l'unique solution physique. Ces conditions peuvent prendre la forme d'une inégalité entropique.Tandis que les calculs numériques visent à supplanter différentes démarches expérimentales, ils deviennent de plus en plus lourds en termes de temps de calcul afin de capturer toutes les différentes échelles. L'apprentissage automatique propose des alternatives prometteuses permettant une mise à l'échelle et une généralisation efficace pour l'approximation de solutions EDP. Les réseaux neuronaux, en tant qu'approximateurs de fonctions universels, ont été utilisés sous diverses formes afin d'accélérer les simulations, découvrir des équations régissant certains phénomènes ou s'hybrider avec des modèles basés sur la physique. Cependant, ces modèles sont sujets à des problèmes de stabilité, attribuables à la présence de discontinuités dans les solutions de systémes hyperboliques. De plus, ces méthodes sont souvent dépourvues de contraintes strictes pouvant répondre à certaines contraintes physiques.Des recherches récentes explorent des solveurs hybrides intégrant l'apprentissage automatique dans des schémas numériques existants telles que la méthode des volumes finis (FVM), en particulier pour les équations différentielles aux dérivées partielles hyperboliques. Lesdites applications englobent la capture des chocs, la limitation des flux, la viscosité artificielle ou la prédiction de flux, avec des extensions aux maillages non structurés. Bien que des progrès notables aient été réalisés, les solveurs volumes finis améliorés par l'apprentissage automatique sont confrontés à des limitations majeures lorsqu'il s'agit d'équilibrer précision, stabilité et efficacité computationnelle tout en garantissant certaines lois de conservation.Cette thèse vise à combler ces lacunes en développant un modèle interprétable de sous-maille cohérent avec une inégalité d'entropie et doté de propriétés de super-résolution dans le cadre de schémas à volumes finis. Cette approche méthodologique intégre une discrétisation spatiale apprise dans un schéma volumes finis d'ordre deux, afin de garantir la stabilité du système. La méthode en question reproduit les résultats obtenus sur des maillages fins sur des maillages grossiers, tout en conservant les contraintes physiques.Dans le cadre d'une collaboration, un solveur machine learning pour les EDPs hamiltoniennes est également présenté. Lors de cette étude, le mécanisme d'auto-attention, venant de l'architecture du transformer, est adapté afin de préserver le volume, une propriété recherchée dans le contexte des systèmes hamiltoniens.