Relative A1-Contractibility of Smooth Schemes and Exotic Motivic Spheres

L'un des problèmes émergents en géométrie algébrique consiste à caractériser l'espace affine n-dimensionnel A^n parmi les schémas affines lisses jusqu'à la contractibilité A^1 : une propriété qui rend les espaces motiviques homotopiquement équivalents à un champ Spec k dans la théorie de l'homotopie motivique. Grâce à des travaux récents, nous savons que cette caractérisation est valable dans les dimensions n < 3 sur certains corps. Dans notre thèse, nous étendons cette observation à des schémas de base « raisonnables » arbitraires dans les dimensions relatives n < 3 en utilisant la trivialité locale de Zariski et la trivialité du faisceau relatif des différentielles. À partir des dimensions n > 2, l'existence de schémas affines « exotiques » lisses, c'est-à-dire ceux qui sont A^1-contractibles mais non isomorphes à l'espace affine n, a déjà été établie. Une famille bien étudiée est constituée par les triples de Koras-Russell et leur prototype généralisé X dans des dimensions supérieures, dont la contractibilité A^1 a été prouvée jusqu'à présent sur des corps de caractéristique nulle. Dans cette direction, nous étendons ces résultats aux schémas de base noethériens dans des dimensions arbitraires. De plus, nous montrons que ces prototypes nous permettent d'étudier l'existence de « sphères exotiques » dans la théorie homotopique motivique : des schémas lisses de dimension n qui sont A^1-homotopiques, mais non isomorphes à A^n{0}. Cela peut être considéré comme l'analogue « compact » de l'étude des schémas affines exotiques. Le résultat principal montre que dans toutes les dimensions >4, les variétés quasi-affines X{point} sont des sphères motiviques exotiques sur des corps parfaits infinis. La nouveauté ici est que celles-ci constituent la première famille d'exemples de sphères motiviques lisses de dimension n qui ne sont pas isomorphes à A^n{0}.