Ergodicity of McKean-Vlasov dynamics

Guillin et al. ont établi des inégalités fonctionnelles non linéaires pour l’équation des milieux granulaires. Le chapitre 1 généralise ces résultats à l’équation de Langevin de champ moyen. Bolley et al. ont montré par couplage synchrone une contraction exponentielle en métrique de Wasserstein pour l’équation de Vlasov-Fokker-Planck. Ils en ont déduit une propagation du chaos uniforme en temps. Le chapitre 2 étend ces résultats aux équations de Langevin de champ moyen. Benaim et al. ont construit et étudié un algorithme basé sur l’(auto-)interaction d’une dynamique avec sa mesure d’occupation pour approximer des distributions quasi-stationnaires (QSDs) de chaînes de Markov générales conditionnées à rester dans un ensemble compact. Le chapitre 3 propose d’aborder le cas des dynamiques de McKean-Vlasov absorbées. Nous présentons des conditions garantissant que les limites faibles de ces suites de mesures aléatoires sont des QSDs de la dynamique donnée. Nous prouvons également des résultats de tension dans le cas non compact. Ces conditions générales sont ensuite appliquées aux schémas d’Euler des EDS de McKean-Vlasov et le comportement de ces QSDs lorsque le pas h tend vers 0 est étudié dans le cas compact. Nos résultats permettent également d’envisager quelques exemples dans le cas non compact et de nouveaux critères de tension sont fournis dans ce cadre. Enfin, nous illustrons nos résultats théoriques par plusieurs simulations.