Direct decomposition of 𝜌-contraction and the unitary 𝜌-dilation

For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho &gt;1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho"> <mml:semantics> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -contraction on a Hilbert space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Letting <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\ge 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a unit vector in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we show that (a) if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper A x double-vertical-bar equals double-vertical-bar upper A squared x double-vertical-bar equals midline-horizontal-ellipsis equals double-vertical-bar upper A Superscript n Baseline x double-vertical-bar identical-to c"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|Ax\|=\|A^2x\|=\cdots =\|A^nx\|\equiv c</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c less-than-or-equal-to StartRoot rho left-parenthesis rho plus n minus 1 right-parenthesis slash n EndRoot"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c\le \sqrt {\rho (\rho +n-1)/n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and (b) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar upper A x double-vertical-bar equals double-vertical-bar upper A squared x double-vertical-bar equals midline-horizontal-ellipsis equals double-vertical-bar upper A Superscript n Baseline x double-vertical-bar equals StartRoot rho left-parenthesis rho plus n minus 1 right-parenthesis slash n EndRoot"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi>