Commutants of complex symmetric weighted composition operators on Hilbert spaces of analytic functions

We characterize all weighted composition operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v upper C Subscript psi"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> ψ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">vC_{\psi }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that commute with a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript mu"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> μ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_{\mu }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -symmetric weighted composition operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u upper C Subscript phi"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> φ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">uC_{\varphi }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on the reproducing kernel Hilbert space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript gamma"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> γ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{\gamma }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of analytic functions on the unit disk <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper D"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb D}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . It turns out these commuting operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v upper C Subscript psi"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> ψ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">vC_{\psi }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are necessarily <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript mu"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> μ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_{\mu }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -symmetric. Furthermore, we obtain characterization(s) for the commuting operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="v upper C Subscript psi"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> ψ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">vC_{\psi }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be self-adjoint, normal or unitary.