On the Diophantine equation 𝑥³±𝑦³=𝑎^{𝑘}±𝑏^{𝑘}

In this note we consider the title Diophantine equation from both a theoretical as well as experimental point of view. In particular, we prove that for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals 4 comma 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k=4, 6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and each choice of the signs our equation has infinitely many coprime positive integer solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x comma y comma a comma b right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(x, y, a, b)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that no partial sum in the expression <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x cubed plus-or-minus y cubed minus left-parenthesis a Superscript k Baseline plus-or-minus b Superscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^3 \pm y^3-(a^k \pm b^k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vanishes. The same is true for each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k not-identical-to 0 left-parenthesis mod 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≢</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\not \equiv 0\pmod {4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x cubed plus-or-minus y cubed equals a Superscript k Baseline minus b Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^3\pm y^3=a^k-b^k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals 5 comma 7"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k=5, 7</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and all choices of the signs we computed all coprime positive integer solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x comma y comma a comma b right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(x, y, a, b)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x cubed plus-or-minus y cubed equals a Superscript k Baseline plus b Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^3\pm y^3=a^k+b^k</mml:annotation>