On the Yau-Tian-Donaldson Conjecture for a transcendental class

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier la direction réciproque de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson dans le cas d'une classe de Kähler générale, sans supposer qu'elle soit rationnelle. C'est-à-dire, de prouver que la notion appropriée de K-stabilité dans ce cadre implique l'existence d'une métrique de Kähler à courbure scalaire constante. Plus précisément, la thèse introduit une notion renforcée de K-stabilité pour les variétés de Kähler, appelée Kb-stabilité, et établit un critère valuatif pour cette dernière, analogue à ceux connus en géométrie algébrique projective. La thèse développe une théorie non- archimédienne pour les variétés complexes compactes non algébriques, construisant un espace topologique de valuations et étudiant ses propriétés fondamentales, notamment la densité d'un sous-ensemble naturel de valuations associées à des diviseurs sur X, appelées valuations divisorielles.Sur cette base, la thèse construit la théorie pluripotentielle non-archimédienne asso- ciée aux variétés de Kähler compactes : elle définit des fonctions plurisousharmoniques non-archimédiennes, établit une comparaison détaillée avec la théorie pluripotentielle classique (y compris la démonstration des formules de pente pour les fonctionnels d'énergie), et prouve l'existence de solutions à l'équation de Monge-Ampère non-archimédienne, généralisant ainsi un résultat de Boucksom-Favre-Jonsson. L'analyse approfondie de cette théorie pluripotentielle non-archimédienne permet en- suite de relier le fonctionnel de Mabuchi non-archimédien à la K-énergie analytique et de montrer que la Kb-stabilité implique l'existence de métriques de Kähler à courbure scalaire constante, généralisant un résultat de Chi Li. De plus, la résolution de l'équation de Monge-Ampère non-archimédienne permet de démontrer le critère valuatif pour la Kb-stabilité, tel qu'établi par Boucksom et Jonsson dans le cadre projectif.