Measurable solutions of an alternative functional equation

Abstract In this paper we investigate the functional equation $$\begin{aligned} \varphi \left( \frac{x+y}{2} \right) \left( \psi _1(x) - \psi _2(y) \right) = 0 \quad \left( \hbox { for all } x \in I_1 \hbox { and } y \in I_2 \right) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mtext>for all</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$ I_1 , I_2 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are open intervals of $$ \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> , $$ J = \frac{1}{2} \left( I_1 + I_2 \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> moreover $$ \psi _1: I_1 \rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$ \psi _2: I_2 \rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$ \varphi : J \rightarrow \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are unknown functions. We describe the structure of the possible solutions assuming that $$ \varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> is measurable. In the case when