<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -closed Noetherian sub-algebras of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mr

For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:math> some groupoid whose objects are the sub-vector spaces of a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -vector space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> , we define <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -closed, noetherian, unstable sub-algebra of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> over the Steenrod algebra. The application on the appropriate ordered set of groupoids, that maps <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:math> to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> defines an isomorphism of posets to the set of noetherian, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -closed, unstable sub-algebras of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of transcendence degree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">dim</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , ordered by inclusion. Since any noetherian and integral unstable algebra of transcendence degree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">dim</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> admits an injection into <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , any such <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -closed unstable algebra is isomorphic to some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:math> encodes the centre, in the sense of Heard, of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>𝒢</mml:mi> <mml:mrow/> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . Also, there is a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> -comodule structure on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> that is associated with the centre of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> . For <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi>