$$\textrm{THH}$$ of the Morava E-theory spectrum $$E_2$$

Abstract The Morava E -theories, $$E_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , are complex-oriented 2-periodic ring spectra, with homotopy groups $$W_{{{\mathbb {F}}}_{p^{n}}}[[u_{1}, u_{2},\ldots , u_{n-1}]][u,u^{-1}]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Here W denotes the ring of Witt vectors. $$E_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is a Landweber exact spectrum and hence uniquely determined by its homotopy groups as $$BP_{*}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> -algebra. Algebraic K -theory of $$E_{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is a key ingredient towards analyzing the layers in the p -complete Waldhausen’s algebraic K -theory chromatic tower. One hopes to use the machinery of trace methods to get results towards algebraic K -theory once the computation for $$THH(E_{n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is known. In this paper we describe $$THH(E_{2})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> as part of consecutive chain of cofiber sequences where each cofiber sits in the next cofiber sequence and the first term of each cofiber sequence is describable completely in terms of suspensions and localizations of $$E_{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> . For these results, we first calculate K ( i )-homology of $$THH(E_{2})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> using a Bökstedt spectral sequence and then lift the generating classes of <j