(𝑃,𝑄) complex hypercontractivity

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi"> <mml:semantics> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\xi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a standard normal random vector in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript k"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^{k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Under some mild growth and smoothness assumptions on any increasing <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P comma upper Q colon left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis right-arrow left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P, Q : [0, \infty ) \to [0, \infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we show <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper P comma upper Q right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(P,Q)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> complex hypercontractivity <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper E upper Q left-parenthesis StartAbsoluteValue upper T Subscript z Baseline f left-parenthesis xi right-parenthesis EndAbsoluteValue right-parenthesis right-parenthesis less-than-or-equal-to upper P Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper E upper P left-parenthesis StartAbsoluteValue f left-parenthesis xi right-parenthesis EndAbsoluteValue right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} Q^{-1}(\mathbb {E} Q(|T_{z}f(\xi )|))\leq P^{-1}(\mathbb {E}P(|f(\xi )|)) \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> holds for all polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon double-struck upper R Superscript k Baseline right-arrow double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mm