Ramanujan, the taxicab problem for polynomials, and the abc-conjecture

Abstract Starting with Ramanujan’s famous taxicab problem, we can study the solvability of the equations $$p^n+q^n=r^n+s^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and, more generally, $$p_1^{k_1}+\dots +p_m^{k_m}=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> among polynomials.