The 4th order terms of a Monge-Ampère solution

In the tangent bundle of real-analytic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper M comma g right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(M,g)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , it is well-known that the Monge-Ampère equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis partial-differential ModifyingAbove partial-differential With bar StartRoot rho EndRoot right-parenthesis Superscript n Baseline equals 0 comma 2 i partial-differential ModifyingAbove partial-differential With bar rho vertical-bar Subscript upper M Baseline equals g"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> ρ </mml:mi> </mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\partial \bar \partial \sqrt \rho )^n=0, \ 2i\partial \bar \partial \rho |_M=g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has, in terms of normal coordinates <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace x Subscript j Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{x_j\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , the asymptotic expansion <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho left-parenthesis x plus i y right-parenthesis equals sigma-summation Underscript j Endscripts y Subscript j Superscript 2 Baseline plus upper O left-parenthesis 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho (x+iy)=\sum _{j} y^2_{j} + O(4)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . As far as we know, there is no further achievements on 4th order terms yet. We make them explicit in this article <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho left-parenthesis x plus i y right-parenthesis equals sigma-summation Underscript i Endscripts y Subscript i Superscript 2 Baseline minus one third sigma-summation Underscript p q i j Endscripts upper R Subscript i p j q Baseline left-parenthesis 0 right-parenthesis x Subscript p Baseline x Subscript q Baseline y Subscript i Baseline y Subscript j Baseline plus upper O left-parenthesis 5 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow>