Weak Lefschetz property of equigenerated complete intersections: Applications

In this paper, we prove that any Artinian complete intersection homogeneous ideal <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper I"> <mml:semantics> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">I</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K left-bracket x 0 comma midline-horizontal-ellipsis comma x Subscript n Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K[x_{0},\cdots ,x_{n}]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> generated by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> forms of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\ge 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies the weak Lefschetz property (WLP) in degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t greater-than d plus left ceiling StartFraction d Over n EndFraction right ceiling"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⌈ </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⌉ </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t&gt; d+\lceil \frac {d}{n} \rceil</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . As a consequence, we get that the Jacobian ideal of a smooth 3-fold of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d greater-than-or-equal-to 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\ge 6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper P Superscript 4"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {P}^{4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies the weak Lefschetz property in degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , answering a recent question of Beauville [ <italic>Hyperplane sections of cubic threefolds</italic> , Proc. Amer. Math. Soc. 153 (2025), no. 12, 5167–5170].