Analysis of a fluid-structure interaction model : well-posedness, stabilization and numerical simulations

Cette thèse porte sur l'étude d'un modèle d'interaction fluide-structure qui couple les équations de Navier-Stokes dans un domaine rectangulaire bidimensionnel avec des conditions aux limites mixtes, et une structure régie par une équation d'Euler-Bernoulli amortie. La structure, supposée encastrée à une extrémité et libre à l'autre, est immergée dans le domaine fluide.Dans la première partie de la thèse, nous établissons l'existence locale en temps de solutions fortes. La démonstration de ce résultat repose principalement sur trois éléments : la réécriture du système dans un domaine de référence fixé ; une analyse minutieuse du système de Stokes stationnaire avec des conditions aux limites mixtes dans un domaine présentant des coins rentrants, dans le cadre des espaces de Sobolev hétérogènes ; et enfin, des estimations ad hoc pour les termes non linéaires, lesquelles, combinées à un argument de point fixe, nous permettent de conclure le résultat.La deuxième partie consiste à montrer que le système fluide-structure est localement exponentiellement stabilisable autour d'une solution stationnaire instable, avec un taux de décroissance arbitrairement prescrit, au moyen d'un contrôle par retour d'état appliqué comme terme de forçage dans l'équation de la structure. Bien que la démonstration et les difficultés soient similaires à celles rencontrées lors de l'établissement de l'existence de solutions fortes, des défis supplémentaires apparaissent, propres à la stabilisation du système linéarisé. Par exemple, l'analyse des problèmes aux valeurs propres direct et adjoint avec des conditions non standard.Dans la troisième partie de la thèse, nous abordons les simulations numériques à la fois du problème direct et du problème de stabilisation. Pour résoudre le problème direct, nous utilisons un algorithme monolithique semi-implicite disponible dans la littérature. En ce qui concerne le problème de stabilisation semi-discret (en espace), il est possible de raisonner de manière similaire au cas continu. La principale nouveauté réside dans le fait que, pour réécrire le système dans le domaine de référence fixe, au lieu d'utiliser une transformation géométrique, nous considérons un prolongement harmonique approprié pour définir l'application. Plusieurs expériences numériques sont présentées.