The sine addition law applied to a cosine equation

Abstract Let S be a semigroup and K a field. Ebanks showed recently how the functional equation $$\begin{aligned} g(xyz) = g(x)g(yz) + g(y)g(xz) + g(z)g(xy) - 2g(x)g(y)g(z), \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$g:S \rightarrow K$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> denotes the unknown function and $$x,y,z \in S$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , is related to the sine addition law on S . We simplify Ebanks’ treatment. Furthermore we discuss for solutions $$f,g:S \rightarrow K$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of the sine addition law the uniqueness of the component f given g , and we show that f and g are abelian, when $$f \ne 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .