Upper bounds for multicolour Ramsey numbers

The <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -colour Ramsey number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Subscript r Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R_r(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the minimum <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n element-of double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \in \mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -colouring of the edges of the complete graph <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vertices contains a monochromatic copy of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We prove, for each fixed <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-slanted-equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> ⩾ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r \geqslant 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , that <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R Subscript r Baseline left-parenthesis k right-parenthesis less-than-or-slanted-equals e Superscript minus delta k Baseline r Superscript r k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⩽ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} R_r(k) \leqslant e^{-\delta k} r^{rk} \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> for some constant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta equals delta left-parenthesis r right-parenthesis greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta = \delta (r) &gt; 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and all sufficiently large <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k element-of double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \in \mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-slanted-equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi>