A lower bound for the number of Egyptian fractions

An <italic>Egyptian fraction</italic> is a sum of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash n 1 plus midline-horizontal-ellipsis plus 1 slash n Subscript r"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/n_{1} + \cdots + 1/n_{r}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n_{1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , …, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n Subscript r"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n_{r}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are distinct positive integers. We prove explicit lower bounds for the cardinality of the set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Subscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{E}_{N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of rational numbers that can be represented by Egyptian fractions with denominators not exceeding <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . More precisely, we show that for every integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k \geq 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ln Subscript k Baseline upper N greater-than-or-equal-to 3 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ln _{k} N \geq 3/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> it holds <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction ln StartAbsoluteValue upper E Subscript upper N Baseline EndAbsoluteValue Over ln 2 EndFraction greater-than-or-equal-to left-parenthesis 2 minus StartFraction 3 Over ln Subscript k Baseline upper N EndFraction right-parenthesis StartFraction upper N Over ln upper N EndFraction product Underscript j equals 3 Overscript k Endscripts ln Subscript j Baseline upper N comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>