Marton’s conjecture in abelian groups with bounded torsion

We prove a Freiman–Ruzsa-type theorem with polynomial bounds in arbitrary abelian groups with bounded torsion, thereby proving (in full generality) a conjecture of Marton. Specifically, let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> be an abelian group of torsion <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> (meaning <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ) and suppose that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> is a non-empty subset of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Then <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> can be covered by at most <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> translates of a subgroup <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> of cardinality at most <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The argument is a variant of that used in the case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> in a recent paper of the authors.