Construction d'approximations effectives pour des EDPs multiéchelles à partir d'information limitée

Cette thèse porte sur le développement de méthodes d'approximation pour des équations aux dérivées partielles (EDP) multi échelles. Les contextes étudiés se caractérisent par une information disponible limitée, tant sur le plan qualitatif que quantitatif. Les approches proposées sont inspirées de la théorie de l'homogénéisation et exploitent des mesures d'observables liées au système. Trois variantes sont étudiées, correspondant à des situations réalistes du point de vue expérimental. Dans le Chapitre 2, un coefficient effectif pour une EDP de diffusion hétérogène est défini. La méthodologie consiste en un problème d'optimisation construit à partir de mesures globales représentées sous forme d'intégrales en bord de domaine. Les solutions de l'EDP effective approchent les solutions du problème original. Des résultats théoriques et numériques confirment la qualité du coefficient effectif proposé. Dans le Chapitre 3, une extension est proposée pour intégrer la connaissance d'un coefficient effectif de référence. En linéarisant les quantités d'intérêt via la théorie des perturbations, un problème d'optimisation moins coûteux à résoudre est formulé. Dans le Chapitre 4, une procédure algorithmique est développée pour sélectionner efficacement le meilleur coefficient effectif au sein d'une liste de candidats possibles. Des tests numériques illustrent l'efficacité de la procédure. Au cours de ces travaux, l'espace de recherche pour le coefficient effectif est progressivement réduit.