Structures algébriques pour la théorie des structures de régularité et pour le calcul stochastique

L'objectif de cette thèse est de dévoiler des structures algébriques utiles pour la renormalisation des équations aux dérivées partielles stochastiques, ainsi que pour l'étude des processus stochastique. Cette thèse est découpée en deux parties :• La première partie a pour objectif d'établir un cadre algébrique solide afin de construire une théorie des structures de régularités, inspirée par celle de F.Otto et co-auteurs [LOT23].Nous commençons dans un premier temps par définir un cadre algébrique autour d'une algèbre post-Lie que nous définissons et que nous étudions. Dans un deuxième temps, nous appliquons les outils algébriques généraux développés afin de définir un espace de modèles et un groupe de structure adaptés à une certaine classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaires. Cette partie est en partie issue d'un projet commun avec L.Zambotti et a donné naissance à un article.• La deuxième partie a pour objectif de donner un point de vue unificateur sur les récents développement dans l'étude algébrique des processus à temps discret ou continus. Nous commençons par une exploration des propriétés algébriques d'algèbres tridendriformes apparaissant dans l'études des processus stochastiques ou déterministes et provenant de différentes théories de l'intégration. Nous calculons quelques formules combinatoires que nous appliquons ensuite à l'étude de la signature de chemins, ainsi que pour l'étude des moments et cumulants conditionnés (par le temps) dans le cadre d'un espace de probabilités filtré.