Motivic formulas in Donaldson-Thomas theory

Le thème de cette dissertation est l’étude de certains problèmes issus de la théorie des singularités et de la théorie de Donaldson-Thomas motivique dans le contexte de la théorie de l’homotopie motivique (également appelée théorie de A¹ - homotopie). Le premier résultat principal est la construction de foncteurs motiviques de cycles évanescents à l’infini associés à des fonctions régulières. Nos constructions capturent des "informations cohomologiques " sur les singularités motiviques des fonctions régulières, et se réalisent en constructions dans des cadres virtuels (par exemple, les cycles évanescents à l’infini de M. Raibaut), qui capturent la "caractéristique d’Euler " de telles fonctions. La deuxième contribution est la preuve de l’identité intégrale de Kontsevich-Soibelman, qui établit les fondements de la théorie motivique de Donaldson-Thomas. Pour ce faire, nous prouvons une version généralisée du théorème de localisation hyperbolique de Braden pour les diagrammes d’espaces algébriques. Finalement, notre technique est nouvelle, en comparaison avec d’autres versions de cette conjecture, et plus important encore, notre résultat élimine la dépendance à la caractéristique 0 et se réalise dans d'autres contextes via des foncteurs de réalisation appropriés.