Limit theorems for quantum trajectories and analyticity of the pressure by quasi-compactness of Markov operators

Cette thèse étudie les théorèmes limite pour les trajectoires quantiques et l'analyticité de la fonction pression pour des produits aléatoires de matrice.Les trajectoires quantiques sont des chaînes de Markov modélisant l'état d'un système quantique soumis à des mesures indirectes répétées. On étudie le comportement long de ces chaînes de Markov en étudiant les propriétés spectrales de l'opérateur de Markov associé. Plus précisément, on montre que celui-ci est quasi-compact, ce qui implique l'existence d'un trou spectral. En perturbant analytiquement cet opérateur, la propriété de quasi-compacité est conservée ce qui permet d'obtenir un théorème central limite, des bornes de Berry-Eessen et un principe de grande déviation.Nous montrons également dans cette thèse que la fonction pression pour un produit de matrices est analytique sous des conditions de contractivité et d'irréductibilité. L'étude s'appuie à nouveau sur la quasi-compacité d'opérateurs de Markov. Nous montrons également un principe variationnel pour la pression.La thèse possède trois chapitres introductifs. Le premier porte sur la quasi-compacité, le second introduit le formalisme des trajectoires quantiques et leur lien avec les produits de matrice et le troisième introduit des éléments de mécanique statistique pour inroduire la pression. Le chapitre 4 a pour but de présenter les théorèmes limite obtenus pour les trajectoires quantiques et le chapitre 5 la preuve de l'analyticité de la pression.