Improved Regularity for a Composite Functional equation Stemming from the Theory of Means

Abstract In this paper we describe the solutions of the functional equation $$\begin{aligned} F\Big (\frac{x+y}{2}\Big )+f_1(x)+f_2(y)= G \big (g_1(x)+g_2(y)) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> defined on an open subinterval of $$ {\mathbb {R}} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> . Improving previous results we assume differentiability on each involved function, eliminate a former condition on $$ g'_1 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> and $$ g'_2 \, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:math> , moreover we determine a brand new family of solutions. We also present a particular member of this class as an example. In order to achieve this, we strengthen known results about certain auxiliary functional equations as well.