Perturbation Effects for Anisotropic Non-Autonomous Kirchhoff–Schrödinger Equations With Exponential Growth

In this article, we study the existence of solutions to a non-autonomous anisotropic fractional equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:math> is a positive parameter, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> ,