Sharp Conditions for the BBM Formula and Asymptotics of Heat Content-Type Energies

Given <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> , we provide sufficient and necessary conditions on the non-negative measurable kernels <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> ensuring convergence of the associated Bourgain-Brezis-Mironescu (BBM) energies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> to a variant of the <i>p</i>-Dirichlet energy on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi></mml:msup> </mml:math> as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo></mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> both in the pointwise and in the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> -sense. We also devise sufficient conditions on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> yielding local compactness in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi></mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of sequences with bounded BBM energy. Moreover, we give sufficient conditions on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> implying pointwise and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> -convergence and equicoercivity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> when the limit <i>p</i>-energy is of non-local type. Finally, we apply our results to provide asymptotic formulas in the pointwise and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> -sense for heat content-type energies both in the local and non-local settings.