MAXIMAL NONCOMPACTNESS OF WIENER-HOPF OPERATORS

Abstract Let $$X(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a separable translation-invariant Banach function space and a be a Fourier multiplier on $$X(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that the Wiener-Hopf operator W ( a ) with symbol a is maximally noncompact on the space $$X(\mathbb {R}_+)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , that is, its Hausdorff measure of noncompactness, its essential norm, and its norm are all equal. This equality for the Hausdorff measure of noncompactness of W ( a ) is new even in the case of $$X(\mathbb {R})=L^p(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with $$1\le p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> .