Modified scattering for subcritical fractional dNLS equations with order $$\alpha \in \left( 0,1\right) \cup \left( 1,\frac{3}{2}\right] $$

Abstract We investigate the global in time existence of small solutions to the Cauchy problem for the subcritical fractional derivative nonlinear Schrödinger equation $$ \left\{ \begin{array}{c} i\partial _{t}u-\frac{1}{\alpha }\left| \partial _{x}\right| ^{\alpha } u=it^{\nu }\partial _{x}\left( \left| u\right| ^{2}u\right) ,\text t&gt;0\textbf{,}x\in \mathbb {R},\\ u\left( 0,x\right) =u_{0}\left( x\right) ,\,x\in \mathbb {R}\textbf{,} \end{array} \right. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext>t</mml:mtext> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where $$\alpha \in \left( 0,1\right) \cup \left( 1,\frac{3}{2}\right] $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mfenced> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> and $$0&lt;\nu &lt;\frac{1}{24}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>24</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> . The parameter $$\nu &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> reflects the subcritical nature of the nonlinearity with respect to the large time asymptotic behavior of solutions. We assume that the initial data $$u_{0}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> admits a small analytic extension in a suitable sector of the complex plane. Under these assumptions, we derive the precise large time asymptotics of the global solution.