Absence of Majorana-Weyl fermions in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:math> and the theory of Majorana fermions

It is customary to identify <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <a:mrow> <a:msub> <a:mrow> <a:mi>ψ</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mo>+</a:mo> </a:mrow> </a:msub> <a:mo>=</a:mo> <a:msub> <a:mrow> <a:mi>ν</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mi>R</a:mi> </a:mrow> </a:msub> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>C</a:mi> <a:msup> <a:mrow> <a:mover accent="true"> <a:mrow> <a:msub> <a:mrow> <a:mi>ν</a:mi> </a:mrow> <a:mrow> <a:mi>R</a:mi> </a:mrow> </a:msub> </a:mrow> <a:mrow> <a:mo stretchy="true">¯</a:mo> </a:mrow> </a:mover> </a:mrow> <a:mrow> <a:mi>T</a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:math> with a Majorana fermion on the basis of chirality changing charge conjugation <e:math xmlns:e="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <e:mrow> <e:mover accent="true"> <e:mrow> <e:mi>C</e:mi> </e:mrow> <e:mrow> <e:mo stretchy="false">˜</e:mo> </e:mrow> </e:mover> <e:mo>:</e:mo> <e:msub> <e:mrow> <e:mi>ν</e:mi> </e:mrow> <e:mrow> <e:mi>R</e:mi> </e:mrow> </e:msub> <e:mo stretchy="false">→</e:mo> <e:mi>C</e:mi> <e:msup> <e:mrow> <e:mover accent="true"> <e:mrow> <e:msub> <e:mrow> <e:mi>ν</e:mi> </e:mrow> <e:mrow> <e:mi>R</e:mi> </e:mrow> </e:msub> </e:mrow> <e:mrow> <e:mo stretchy="false">¯</e:mo> </e:mrow> </e:mover> </e:mrow> <e:mrow> <e:mi>T</e:mi> </e:mrow> </e:msup> </e:mrow> </e:math> and parity <l:math xmlns:l="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <l:mrow> <l:mover accent="true"> <l:mrow> <l:mi>P</l:mi> </l:mrow> <l:mrow> <l:mo stretchy="false">˜</l:mo> </l:mrow> </l:mover> <l:mo>:</l:mo> <l:msub> <l:mrow> <l:mi>ν</l:mi> </l:mrow> <l:mrow> <l:mi>R</l:mi> </l:mrow> </l:msub> <l:mo stretchy="false">→</l:mo> <l:mi>i</l:mi> <l:msub> <l:mrow> <l:mi>γ</l:mi> </l:mrow> <l:mrow> <l:mn>4</l:mn> </l:mrow> </l:msub> <l:msub> <l:mrow> <l:mi>ν</l:mi> </l:mrow> <l:mrow> <l:mi>R</l:mi> </l:mrow> </l:msub> </l:mrow> </l:math> . The theorem on the absence of a Majorana-Weyl fermion in <q:math xmlns:q="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <q:mi>d</q:mi> <q:mo>=</q:mo> <q:mn>4</q:mn> </q:math> states <s:math xmlns:s="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <s:mover accent="true"> <s:mi>C</s:mi> <s:mo stretchy="false">˜</s:mo> </s:mover> <s:msub> <s:mi>γ</s:mi> <s:mn>5</s:mn> </s:msub> <s:msup> <s:mover accent="true"> <s:mi>C</s:mi> <s:mo stretchy="false">˜</s:mo> </s:mover> <s:mrow> <s:mo>−</s:mo> <s:mn>1</s:mn> </s:mrow> </s:msup> <s:mo>=</s:mo> <s:mo>−</s:mo> <s:msub> <s:mi>γ</s:mi> <s:mn>5</s:mn> </s:msub> </s:math> with <y:math xmlns:y="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <y:mover accent="true"> <y:mi>C</y:mi> <y:mo stretchy="false">˜</y:mo> </y:mover> <y:mo>=</y:mo> <y:mi>C</y:mi> <y:msubsup> <y:mi>γ</y:mi> <y:mn>4</y:mn> <y:mi>T</y:mi> </y:msubsup> </y:math> , and, thus, the charge conjugation of the equivalent Majorana <cb:math xmlns:cb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <cb:msub> <cb:mi>ψ</cb:mi> <cb:mo>+</cb:mo> </cb:msub> <cb:mo>=</cb:mo> <cb:mo stretchy="false">(</cb:mo> <cb:mfrac> <cb:mrow> <cb:mn>1</cb:mn> <cb:mo stretchy="false">+</cb:mo> <cb:msub> <cb:mi>γ</cb:mi> <cb:mn>5</cb:mn> </cb:msub> </cb:mrow> <cb:mn>2</cb:mn> </cb:mfrac> <cb:mo stretchy="false">)</cb:mo> <cb:msub> <cb:mi>ν</cb:mi> <cb:mi>R</cb:mi> </cb:msub> <cb:mo>+</cb:mo> <cb:mo stretchy="false">(</cb:mo> <cb:mfrac> <cb:mrow> <cb:mn>1</cb:mn> <cb:mo stretchy="false">−</cb:mo> <cb:msub> <cb:mi>γ</cb:mi> <cb:mn>5</cb:mn> </cb:msub> </cb:mrow> <cb:mn>2</cb:mn> </cb:mfrac> <cb:mo stretchy="false">)</cb:mo> <cb:mi>C</cb:mi> <cb:msup> <cb:mover accent="true"> <cb:msub> <cb:mi>ν</cb:mi> <cb:mi>R</cb:mi> </cb:msub> <cb:mo stretchy="true">¯</cb:mo> </cb:mover> <cb:mi>T</cb:mi> </cb:msup> </cb:math> vanishes without subsidiary <mb:math xmlns:mb="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mb:msub> <mb:mi>γ</mb:mi> <mb:mn>5</mb:mn> </mb:msub> <mb:mo stretchy="false">→</mb:mo> <mb:mo>−</mb:mo> <mb:msub> <mb:mi>γ</mb:mi> <mb:mn>5</mb:mn>