Nonlinear double phase eigenvalue problems

We consider a nonlinear eigenvalue problem driven by the double phase differential operator. We prove two existence theorems, both producing a continuous spectrum and the first generates eigenfunctions which blow up in the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -norm <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , while the second generates eigenfunctions which vanish in the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -norm as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> .