On the rational approximation to linear combinations of powers

Abstract For a complex number x , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∥</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∥</m:mo> </m:mrow> <m:mo>:=</m:mo> <m:mrow> <m:mi>min</m:mi> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>:</m:mo> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi>ℤ</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\|x\|:=\min\{|x-m|:m\in\mathbb{Z}\}} . Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> {k\geq 1} be an integer, and let K be a number field. Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:math> {\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}} be algebraic numbers with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:math> {|\alpha_{i}|\geq 1} and let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>d</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:math> {d_{i}} denotes the degree of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>α</m:mi> <m:mi>i</m:mi> </m:msub> </m:math> {\alpha_{i}} for <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>i</m:mi> <m:mo>≤</m:mo> <m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:math> {1\leq i\leq k} . Set <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>d</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>d</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>+</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">⋯</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mi>d</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {d=d_{1}+\cdots+d_{k}} . In this article, we show that if the inequality <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∥</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>λ</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msubsup> <m:mi>α</m:mi> <m:mn>1</m:mn> <m:mi>n</m:mi>