Spectral properties of infinite convolutions generated by complete residue systems

Abstract Let μ denote the infinite convolution generated by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">{</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>B</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">}</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">∞</m:mi> </m:msubsup> </m:math> {\{(N_{k},B_{k})\}_{k=1}^{\infty}} given by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>δ</m:mi> <m:mrow> <m:mmultiscripts> <m:mi>N</m:mi> <m:mn>1</m:mn> <m:none/> <m:none/> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:mmultiscripts> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>B</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>∗</m:mo> <m:msub> <m:mi>δ</m:mi> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>B</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>∗</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">…</m:mi> <m:mo>∗</m:mo> <m:msub> <m:mi>δ</m:mi> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">⋯</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>N</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msub> <m:mi>B</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>*</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">⋯</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> \mu=\delta_{{N_{1}}^{-1}B_{1}}\ast\delta_{(N_{1}N_{2})^{-1}B_{2}}\ast\dots\ast% \delta_{(N_{1}N_{2}\cdots N_{k})^{-1}B_{k}}*\cdots, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>B</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:math> {B_{k}} is a complete residue system for each integer <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>k</m:mi> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {k&gt;0} . We write <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow>