Bifurcation analysis of the Schrödinger-Poisson-Slater equation with critical growth

This paper deals with bifurcation results for (weak) solutions of the Schrödinger–Poisson–Slater equation involving the Coulomb potential and critical nonlinearity, modeled by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λg</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:mi>in</mml:mi> <mml:mspace width="0.25em"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">ℝ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">ℝ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>∕</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and g is a weight function. Using the global bifurcation theorem due to Rabinowitz, the existence of unbounded components and a bifurcation point of positive (weak) solutions of the nonlinear Schrödinger–Poisson–Slater equation are proved.