Multiplier ideals of normal surface singularities

We study the multiplier ideals and the corresponding jumping numbers and multiplicities <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace m left-parenthesis c right-parenthesis right-brace Subscript c element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{m(c)\}_{c\in \mathbb {R}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the following context: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma o right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(X,o)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a complex analytic normal surface singularity, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German a subset-of script upper O Subscript upper X comma o"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak a}\subset \mathcal {O}_{X,o}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German m Subscript upper X comma o"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathfrak m}_{X,o}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> –primary ideal, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi colon upper X overTilde right-arrow upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi :\widetilde {X}\to X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a log resolution of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German a"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {a}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German a script upper O Subscript upper X overTilde Baseline equals script upper O Subscript upper X overTilde Baseline left-parenthesis negative upper F right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {a}\mathcal {O}_{\widetilde {X}}=\mathcal {O}_{\widetilde {X}}(-