Sobolev homeomorphisms and composition operators on homogeneous Lie groups

Abstract In this article, we study Sobolev homeomorphisms and composition operators on homogeneous Lie groups. We prove that a measurable homeomorphism $$\varphi \colon \Omega \to\widetilde{\Omega}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> belongs to the Sobolev space $$L^{1}_{q}(\Omega; \widetilde{\Omega})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$1\leq q &lt; \infty$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , if and only if $$\varphi$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> generates a bounded composition operator on Sobolev spaces.